Las primeras investigaciones conocidas de la geometria son debidas a los Egispcios y a los Babilonios (2000 años antes de nuestra era. Las inundaciones periódicas del Nilo obligaban a los agrimensores egipcios a rehacer cada año el trazo de las propiedades.
Las fórmulas utilizadas eran empíricas:
Así, el área de un cuadrilátero de lados a, b, c, d estaba dada por [(a+c)/2] [(d+b)/2]
Del mismo modo el área de un triángulo isósceles de lados a, a, b estaba dada por (a)(b)/2. Fórmula que es falsa en todos los casos pero llega a ser una muy buena aproximación si el triángulo isósceles tiene un ángulo muy agudo.

GEOMETRÍA GRIEGA

Los conocimientos matemáticos de los egipcios y de los pueblos orientales perviven en Grecia merced a intercambios comerciales.
La tradición atribuyen a Thales (600 años antes de nuestra era), la introducción en Grecia de la geometría egipcia. Thales fue un precursor sobre todo preocupando de problemas prácticos (cálculo de alturas de monumentos con ayuda de un bastón y de la proporcionalidad de las sombras). La geometría griega, que fue un éxito asombroso de la ciencia humana dando pruebas de un ingenio excepcional, estuvo marcada por dos escuelas: la de Pitágoras y la de Euclídes.

GEOMETRÍA PITAGÓRICA: ESCUELA DE CROTONA

Pitágoras fue un filósofo griego que nació en Samos hacia el 580antes de nuestra era y murió hacia el 500 antes de nuestra era. Viajó a Egipto y se instaló en Crotona Italia donde fundó una escuela célebre. Debemos a la escuela de Crotona un nuevo arranque en la investigación geométrica.

GEOMETRÍA EUCLIDEANA: ESCUELA DE ALEJANDRÍA

Fundada en el 331 antes de nuestra era por Alejandro el Grande, la ciudad de Alejandría llegó a ser rápidamente bajo la protección de los Ptolomeos, el centro intelectual del mundo antiguo. Los matamáticos fueron particularmente formados allí y la célebre Escuela Matemática de Alejandría conoció tres representantes excepcionales: Euclides, Arquímedes y Apolonio.
Los trabajos de esta escuela desembocaron en una obra que durante más de 20 siglos sirvió de base a todo estudio geométrico: Los elementos.

MÉTODO INDUCTIVO Y DEDUCTIVO

La inducción es el razonamiento que a partir de uno o varios juicios particulares, obtiene una conclusión de aplicación general. El razonamiento inductivo tiene dos formas: inducción por analogía y la inducción por causa y efecto.
Ejemplo de inducción por analogía:
A Julio, Juan y a mí nos gusta la música, la pintura y la escultura. A mí me gusta también la literatura; luego, a Julio y a Juan debe gustarle también la literatura.
Ejemplo de inducción por relación causa y efecto:
Una vez mi esposa se asustó mucho a causa de una tormaneta igual a la de esta noche. Mejor me voy a casa, porque debe estar muy asustada.
El razonamiento deductivo parte de un juicio general para obtener conclusiones en casos y hechos concretos, particulares.
Ejemplo de razonamiento deductivo:
Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.

AXIOMAS Y POSTULADOS

Es una proporsición o evidencia que no es susceptible de demostración. Son verdades obvias a la razón humana que sirven de base a la ciencia.
Los axiomas se refieren a los principios que se aceptan en todas las ciencias, mientras que en los postulados se refieren a una ciencia en particular.
En los elementos de Euclides se establecen nuevas axiomas (lo valioso en griego) para la geometría:
1. Las cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre sí
2. Si se suma lo mismo a cantidades iguales los totales son iguales
3. Si se uita lo mismo a cantidades iguales los restos son iguales
4. Si a cosas desiguales se añaden cosas iguales, los totales serán desiguales.
5. Los dobles de una misma cosa son iguales entre sí.
6. Las unidades de una misma cosa son iguales entre sí.
7. Las cosas que se suponen una a la otra son iguales entre sí.
8. El todo es mayor que las partes.
9. Dos rectas no comprenden un espacio
y cinco postulados:
°Desde cualquier punto se puede trazar una recta a cualquier otro punto.
°Toda recta se puede prolongar indefinidamente.
°Con cualquier entro y cualquier distancia se puede trazar un córculo
°Todos los ángulos rectos son iguales
°Si una recta, cortando a otras dos, forma los ángulos internos a una misma parte menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de la parte en que los dos ángulos son menores que dos rectos.
Es claro que los axiomas se refieren a los principios que se aceptan en su estudio de todas las ciencias, mientras que los postulados se refieren a una ciencia en particular, la geometría en este caso.

TEOREMA

Afirmación que puede ser demostrada, generalmente posee un número de premisas que pueden ser enumeradas o aclaradas de antemano, luego existe conclusión, la cuál es verdadera bajo las condiciones dadas.

COROLARIO

Un corolario es un término que se utiliza en las matemáticas y en lógica, para designar la evidencia de un teorema o definición ya demostrado, sin necesidad de tener que invertir esfuerzo adicional en su demostración. En pocas palabras, es una consecuencia tan evidente, que no necesita demostración.
A menudo se trata de una indiferencia, si bien, la distinción entre teorema y corolario es tan subjetiva como entre lema y teorema.

LEMA

En matemáticas , un lema es una proposición desmostrada, utilizada para establecer un teorema o una premisa que forma parte de un teorema. Ciertos lemas demostrados son más famosos que el teorema para el que fueron creados, desempeñando a veces la función de teorema.

Ejemplos de lemas célebres:

* Lema de Euclides
* Lema de Zorn
* Lema de Bézout
* Lema del bombeo
* Lema de Yoneda
* Lema de Cotlar

ESCOLIO

Escolio es una advertencia o nota que se hace a fin de aclarar, ampliar o restringir proposiciones anteriores.

DEMOSTRACION GEOMÉTRICA

La necesidad de demostración es consecuencia de una de las leyes fundamentales de la lógica, el principio de la razón suficiente. Este principio exige que toda afirmación que hagamos tenga fundamento, es decir, que vaya acompañadade argumentos sificientemente sólidos que confirmen su veracidad, su concordancia con los hechos y con la realidad.
La proposición que enuncia una propiedad de un figura geométrica se llama teorema. Las propiedades fundamentales de las figuras elementales sirven de partida para la demostración de otras. Estas propiedades no se demuestran y se llaman axiomas. Los axiomas definen implícitamente los conceptos geométricos fundamentales. Son los conceptos expresados con las palabras: 'punto', 'recta', 'pertenecen'; los demás conceptos geométricos son derivados. Se definen explícitamente partiendo de los conceptos fundamentales, por ejemplo, los conceptos de segmento, ángulo, triángulo, etc.

BISECTRIZ

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que están en la misma distancia que de las semirrectas de los ángulos

MEDIATRIZ

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como la recta cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento. También se llama SIMETRAL

ÁNGULOS EN EL PLANO

Se le conoce como ángulo plano a simplemente ángulo a la figura formada por dos semi-rectas que se interceptan. El punto de intersección se conoce como vértice.

ÁNGULOS

SISTEMA SEXAGESIMAL

Se llama grado sexagesimal o simplemente grado a la medida del ángulo que resulta de dividir a la circunferencia en 360 partes iguales. La medida de un ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la abertura entre estos. Existen dos métodos para poder expresar los ángulos con mayor precisión: el sistema decimal que consiste simplemente en utilizar decimales del grado y el sistema sexagesimal que consiste en dividir el grado en 60 partes (minutos), y el minuto en 60 partes (segundos).

SUMA DE ÁNGULOS

Para sumar ángulos, podemos hacerlo de manera geométrica como se muestra en las siguientes figuras:

O bien, de manera algebraica: se suman los grados con los grados respectivos con los minutos y los segundos con los segundo

RESTA DE ÁNGULOS

Se procede de manera similar a las sumas

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE

Esta configuración, da a origen a nueva clasificación llamandose:

- ángulos internos: Son 2 ángulos internos no adyacentes, ubicados a un lado distinto de la recta secante.

Como es el caso de los ángulos: 4 = 6, 3 = 5.

- ángulos extremos: Son 2 ángulos extremos no adyacente, ubicados a un lado distinto de la recta secante.

Como es el caso de los ángulos: 2 = 8, 1 = 7.

- ángulos opuestos por el vértice: Son ángulos que poseen en común un vértice y uno de los lados de sus ángulos.

Como es el caso de los ángulos: 2 = 4, 6 = 8, 1 = 3, 5 = 7.

- ángulos correspondientes: Son 2 ángulos no adyacentes, ubicados en un mismo lado de la secante, pero interno y externo.

Como es el caso de los ángulos: 2 = 6, 1 = 5, 3 = 7, 4 = 8.

- ángulos adyacentes (Suplementarios): Son aquellos ángulos que poseen un lado en común y unidos suman (180 grados sexagesimales).

Como es el caso de los ángulos: 6 + 3 = 180, 5 + 4 = 180.

- ángulos colaterales internos (Suplementarios): Son 2 ángulos internos no adyacentes ubicados a un lado distinto de la recta secante y unidos suman (180 grados sexagesimales).

Como es el caso de los ángulos: 7 + 2 = 180, 1 + 8 = 180.

- ángulos colaterales externos (Suplementarios): Son 2 ángulos externos no adyacentes ubicados a un lado distinto de la recta secante y unidos suman (180 grados sexagesimales).

Como es el caso de los ángulos: 1 + 2 = 180, 2 + 3 = 180, 3 + 4 = 180, 1 + 4 = 180, 5 + 6 = 180, 6 + 7 = 180, 7 + 8 = 180, 5 + 8 = 180.

BLOQUE II

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Al observar y comparar figuras geométricas, se advierte que, en algunos casos, dos de ellas tienen la misma forma pero no el mismo tamaño y, en otros, puede ser que sean de igual forma y tamaño. Al comparar dos figuras, si observamos que tienen la misma forma y la misma medida, decimos que las figuras son congruentes.

Para comparar dos triángulos y determinar si existe congruencia entre ellos, existen tres criterios, que se describen y ejemplifican a continuación.

Primer criterio: lado, lado, lado (LLL)

Dos triángulos son congruentes si los tres lados de uno de ellos son congruentes a los lados del otro triángulo.

Segundo criterio: lado, ángulo, lado (LAL)

Dos triángulos son congruentes si, en el primer triángulo, dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos del segundo triángulo

Tercer criterio: ángulo, lado, ángulo (ALA)

Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado comprendido entre ellos, de uno de los triángulos, son congruentes con dos de los ángulos y el lado comprendido entre ellos del otro triángulo.

Con la finalidad de ejemplificar los criterios de congruencia de los triángulos, considérense los puntos que se dan a continuación.

1. Los siguientes triángulos son congruentes, lo cual puede comprobarse al medir los lados de cada triángulo.

2. Los siguientes triángulos no son congruentes, lo cual se comprueba al medir los lados de cada triángulo.

3. En los siguientes triángulos, los segmentos y los ángulos congruentes están marcados de la misma manera. En función de tal circunstancia, es posible determinar en cuál de los tres criterios de congruencia son LLL, LAL y ALA.

Como puede observarse, los tres lados del primer triángulo son congruentes con los tres lados del segundo triángulo; por lo tanto, estos triángulos se identifican con el primer criterio de congruencia: lado, lado, lado (LLL).

Puede verse que estos triángulos son congruentes debido a que presentan sus ángulos y sus lados congruentes, respectivamente; por lo tanto, se identifican con el segundo criterio de congruencia: lado, ángulo, lado (LAL).

Estos triángulos también son congruentes,ya que dos ángulos y el lado comprendido entre los ángulos del primer triángulo son congruentes con respecto al segundo triángulo; por lo tanto, estos triángulos se identifican con el tercer criterio de congruencia: ángulo, lado, ángulo (ALA).

Con base en el conocimiento de los criterios de congruencia se puede demostrar con facilidad cuando dos triángulos son congruentes.

BLOQUE III

TEOREMA DE TALES

Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales), debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.
El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente (triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos).
Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (los circuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa).

Primer teorema
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:

SEGUNDO TEOREMA

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:
Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.
Este teorema (véase figuras 1 y 2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.
tales005

Figura uno                                      Figura dos
Ilustración del enunciado del            Siempre que AC sea un
segundo teorema de tales
de mileto    diámetro, el ángulo B será
                                                      constante y recto
Demostración:

En la circunferencia de centro O y radio r (véase figura 3), los segmentos

son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.
Por lo tanto, los triángulos AOB y BOC son isósceles.
La suma de los ángulos del triángulo ABC es:
2α + 2β = π (radianes) (180º)
Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:

Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.
Figura 3.
Los triángulos AOB y BOC son isósceles.

TEOREMA DE PITÁGORAS

^{En todo triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir: c2=a2 + b2}

^{BLOQUE IV}

Polígonos

Un polígono es una figura plana con lados rectos.

¿Es un polígono?

Los polígonos son formas bidimensionales. Están hechos con líneas rectas, y su forma es "cerrada" (todas las líneas están conectadas).


Polígono (lados rectos)	No es un polígono (tiene una curva)	No es un polígono (abierto, no cerrado)

Tipos de polígonos

Simple o complejo

Un polígono simple sólo tiene un borde que no se cruza con él mismo. ¡Uno complejo se interseca consigo mismo!


Polígono simple (este es un pentágono)	Polígono complejo (también es un pentágono)

Cóncavo o convexo

Un polígono convexo no tiene ángulos que apunten hacia dentro. En concreto, los ángulos internos no son mayores que 180°.
Si hay algún ángulo interno mayor que 180° entonces es cóncavo. (Para acordarte: cóncavo es como tener una "cueva")


Convexo	Cóncavo

Regular o irregular

Si todos los ángulos son iguales y los lados también, es regular, si no es irregular


Regular	Irregular

Más ejemplos


Polígono complejo (un "polígono estrellado", en este caso un pentagrama)	Octágono cóncavo	Hexágono irregular

^{BLOQUE V}

^{SEGMENTOS Y RECTAS}

Rectas

• Centro. Es el punto fijo dentro de la circunferencia, cuya distancia a cualquier punto en el contorno es la misma.

• Circunferencia. Contorno exterior del circulo, también se conoce como el conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo, llamado centro, es la misma.

• Radio. Es la distancia del centro del circulo a cualquiera de los puntos de la circunferencia.

• Cuerda. Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.

• Diámetro. Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Segmentos

• Secante. Es la recta que corta la circunferencia en dos puntos diferentes

• Recta exterior. Son todas las rectas que no cortan la circunferencia

• Recta tangente. Es la recta que toca la circunferencia en un solo punto

• Recta normal. Es una recta secante que además pasa por el centro de la circunferencia; es importante señalar que la recta tangente y la normal forman un ángulo de 90°

Ángulo central: es el que tiene su vertice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella

Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia.

Angulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo.

Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma.

BLOQUE VI

TRIGONOMETRÍA

La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Seno

El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por sen B.

Coseno

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por cos B.

Tangente

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

Se denota por tg B.

Cosecante

La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B.

Se denota por cosec B.

Secante

La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

Cotangente

La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por cotg B.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

las razones trigonométricas inversas son arcoseno, arcocoseno y arcotangente. Estas funcionan para encontrar la medida de ángulos. Ya que si por ejemplo buscamos el seno de 90 sabemos que es 1, entonces con la inversa sabemos que arcoseno de 1 será 90, por eso la relación inversa. también son conocidas como sen a la menos1, cosono a la menos 1,etc.

BLOQUE VII

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Función seno: nos describe la relación existente entre lado opuesto sobre la hipotenusa

Función coseno: describe la relación existente entre lado adyacente sobre hipotenusa

Función tangente: nos describe la relación entre lado opuesto sobre lado adyacente

Función cotangente: nos describe la función entre lado adyacente sobre lado opuesto

Función secante: nos describe la relación entre hipotenusa sobre cateto adyacente

Función cosecante: nos describe la relación entre hipotenusa sobre cateto opuesto

BLOQUE VIII

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

Se dividen en:

1) Triángulos rectángulos si tienen UN ángulo recto.

Tienes a continuación tres ejemplos de triángulos rectángulos

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los lados perpendiculares que forman el ángulo recto se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras: Al estudiar el triángulo rectángulo hemos de conocer perfectamente este teorema que nos dice:

En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

Tomemos como ejemplo el de la figura en el que los catetos miden 3 y 4 cm., respectivamente y 5 cm., la hipotenusa.

Con las medidas de los catetos formamos cuadrados

Con la longitud de la hipotenusa formamos otro cuadrado (c):

Si calculas el área del cuadrado formado por el cateto (a): lado al cuadrado obtienes como valor del área:

Si a continuación calculas el cuadrado formado por el cateto (b), el valor de su área vale

El cuadrado formado por la longitud de la hipotenusa tiene un área de

Si sumas las áreas de los cuadrados de los catetos, es decir obtienes el área formada por el cuadrado de la hipotenusa,

Fíjate en la figura siguiente:

La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.Siendo a y b las longitudes de los catetos los catetos, y c la longitud de la hipotenusa podemos escribir:

Resuelve:

(a) Calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que los catetos miden 5 y 6 cm., respectivamente.
El resultado es de 7,81 cm. porque la suma de los cuadrados de los catetos es

de donde

(b) Sabiendo que la hipotenusa de un triángulo rectángulo vale 10 cm., y uno de los catetos 8 cm.
¿Cuál es el valor del otro cateto?
El resultado es de 6 cm. Porque

2) Triángulos acutángulos, si tienen TRES ángulos agudos(menores de 90º).

En el dibujo siguiente tienes dos triángulos acutángulos.

3) Triángulos obtusángulos, si tienen UN ángulo obtuso (más de 90º).

En la siguiente figura tienes dos triángulos obtusángulos

15.76 ¿Puede un triángulo rectángulo tener, además de su ángulo recto, dos ángulos de 56º y 45º? ¿Por qué?

Respuesta: No, porque la suma de los tres ángulos debe valer 180º y en este caso, supera ese número.

15.77 Dos triángulos isósceles tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. ¿Son necesariamente iguales?

Respuesta: Sí.

15.78 ¿La suma de los ángulos no rectos de los triángulos rectángulos han de sumar un ángulo recto? ¿Por qué?

Respuesta: Sí, porque si el ángulo recto vale 90º los otros dos 2 ángulos no rectos tendrán que sumar 90º, de este modo, la suma de los ángulos del triángulo suman 180º

Un triángulo que no es rectángulo se le llama oblicuángulo. Los elementos de un triángulo oblicuángulo son los tres ángulos A, B y C y los tres lados respectivos, opuestos a los anteriores, a, b y c.
Un problema de resolución de triángulos oblicuángulos consiste en hallar tres de sus elementos, lados o ángulos, cuando se conocen los otros tres (uno de los cuales ha de ser un lado).
Se utilizan tres propiedades:
Suma de los ángulos de un triángulo A + B + C = 180º
Teorema del seno
Teorema del coseno
a2 = b2 + c2 - 2•b•c•Cos A
b2 = a2 + c2 - 2•a•c•Cos B
c2 = a2 + b2 - 2•a•b•Cos C

LEY DE SENOS

La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.

La ley de senos nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a el en todo triángulo es constante.Si observamos la figura 1, la ley de senos se escribirá como sigue:

Figura 1

Resolución de triángulos por la ley de los Senos

Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos.

Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de senos y/o la ley de cosenos. Todo dependerá de los valores conocidos.

Ejemplo:

Supongamos que en el triángulo de la figura 1

. Encontrar la longitud del del tercer lado y la medida de los otros dos ángulos.

Solución:

Calculemos el ángulo

como los tres ángulos internos deben sumar 180º , podemos obtener el ángulo

Para calcular el lado c podemos utilizar nuevamente la ley de senos:

LEY DE COSENO

La ley de cosenos se puede considerar como una extención del teorema de pitágoras aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de untriángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Si aplicamos este teorema al triángulo de la figura 1 obtenemos tres ecuaciones:

Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos.
Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de cosenos y/o la ley de senos. Todo dependerá de los valores conocidos.
Ejemplo:
Supongamos que en el triángulo de la figura 1

. Encontrar la longitud del tercer lado.
Solución:
Para calcular el valor del tercer lado, podemos emplear la ley de cosenos:

BLOQUE IX

POBLACIÓN Y MUESTRA

El concepto de población en estadística va más allá de lo que comúnmente se conoce como tal. Una población se precisa como un conjunto finito o infinito de personas u objetos que presentan características comunes.

Destacamos algunas definiciones:

"Una población es un conjunto de todos los elementos que estamos estudiando, acerca de los cuales intentamos sacar conclusiones". Levin & Rubin (1996).

"Una población es un conjunto de elementos que presentan una característica común". Cadenas (1974).

El tamaño que tiene una población es un factor de suma importancia en el proceso de investigación estadística y en nuestro caso social, y este tamaño vienen dado por el número de elementos que constituyen la población, según el número de elementos la población puede ser finita o infinita. Cuando el número de elementos que integra la población es muy grande, se puede considerar a esta como una población infinita, por ejemplo; el conjunto de todos los números positivos.

Una población finita es aquella que está formada por un limitado número de elementos, por ejemplo; el número de habitantes de una comarca.

Cuando la población es muy grande, es obvio que la observación y/o medición de todos los elementos se multiplica la complejidad, en cuanto al trabajo, tiempo y costos necesarios para hacerlo. Para solucionar este inconveniente se utiliza una muestra estadística.

Evolución de la población española

Es a menudo imposible o poco práctico observar la totalidad de los individuos, sobre todos si estos son muchos. En lugar de examinar el grupo entero llamado población o universo, se examina una pequeña parte del grupo denominada muestra.

Muestra:

La muestra es una representación significativa de las características de una población, que bajo, la asunción de un error (generalmente no superior al 5%) estudiamos las características de un conjunto poblacional mucho menor que la población global.

"Se llama muestra a una parte de la población a estudiar que sirve para representarla". Murria R. Spiegel (1991).

"Una muestra es una colección de algunos elementos de la población, pero no de todos". Levin & Rubin (1996).

"Una muestra debe ser definida en base de la población determinada, y las conclusiones que se obtengan de dicha muestra solo podrán referirse a la población en referencia", Cadenas (1974).

Por ejemplo estudiamos los valores sociales de una población de 5000 habitantes aprox., entendemos que sería de gran dificultad poder analizar los valores sociales de todos ellos, por ello, la estadística nos dota de una herramienta que es la muestra para extraer un conjunto de población que represente a la globalidad y sobre la muestra realizar el estudio. Una muestra representativa contiene las características relevantes de la población en las mismas proporciones que están incluidas en tal población.

Los expertos en estadística recogen datos de una muestra. Utilizan esta información para hacer referencias sobre la población que está representada por la muestra. En consecuencia muestra y población son conceptos relativos. Una población es un todo y una muestra es una fracción o segmento de ese todo.

Técnicas de Muestreo:

Esto no es más que el procedimiento empleado para obtener una o más muestras de una población; el muestreo es una técnica que sirve para obtener una o más muestras de población.

Este se realiza una vez que se ha establecido un marco muestral representativo de la población, se procede a la selección de los elementos de la muestra aunque hay muchos diseños de la muestra.

Al tomar varias muestras de una población, las estadísticas que calculamos para cada muestra no necesariamente serían iguales, y lo más probable es que variaran de una muestra a otra.

Tipos de muestreo

Existen dos métodos para seleccionar muestras de poblaciones; el muestreo no aleatorio o de juicio y el muestreo aleatorio o de probabilidad. En este último todos los elementos de la población tienen la oportunidad de ser escogidos en la muestra. Una muestra seleccionada por muestreo de juicio se basa en la experiencia de alguien con la población. Algunas veces una muestra de juicio se usa como guía o muestra tentativa para decidir como tomar una muestra aleatoria más adelante. Las muestras de juicio evitan el análisis estadístico necesario para hacer muestras de probabilidad.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSION

En el caso de las variables con valores que pueden definirse en términos de alguna escala de medida de igual intervalo, puede usarse un tipo de indicador que permite apreciar el grado de dispersión o variabilidad existente en el grupo de variantes en estudio.

A estos indicadores les llamamos medidas de dispersión, por cuanto que están referidos a la variabilidad que exhiben los valores de las observaciones, ya que si no hubiere variabilidad o dispersión en los datos interés, entonces no habría necesidad de la gran mayoría de las medidas de la estadística descriptiva.

Las medidas de tendencia central tienen como objetivo el sintetizar los datos en un valor representativo, las medidas de dispersión nos dicen hasta que punto estas medidas de tendencia central son representativas como síntesis de la información. Las medidas de dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la variabilidad de los valores de la distribución respecto al valor central. Distinguimos entre medidas de dispersión absolutas, que no son comparables entre diferentes muestras y las relativas que nos permitirán comparar varias muestras.

LA DISPERSIÓN.

Al igual que sucede con cualquier conjunto de datos, la media, la mediana y la moda sólo nos revelan una parte de la información que necesitamos acerca de las características de los datos. Para aumentar nuestro entendimiento del patrón de los datos, debemos medir también su dispersión, extensión o variabilidad.

La dispersión es importante porque:

Proporciona información adicional que permite juzgar la confiabilidad de la medida de tendencia central. Si los datos se encuentran ampliamente dispersos, la posición central es menos representativa de los datos.
Ya que existen problemas característicos para datos ampliamente dispersos, debemos ser capaces de distinguir que presentan esa dispersión antes de abordar esos problemas.
Quizá se desee comparar las dispersiones de diferentes muestras. Si no se desea tener una amplia dispersión de valores con respecto al centro de distribución o esto presenta riesgos inaceptables, necesitamos tener habilidad de reconocerlo y evitar escoger distribuciones que tengan las dispersiones más grandes.

Pero si hay dispersión en la mayoría de los datos, y debemos estar en capacidad de describirla. Ya que la dispersión ocurre frecuentemente y su grado de variabilidad es importante, ¿cómo medimos la variabilidad de una distribución empírica?. Vamos a considerar sólo algunas medidas de dispersión absolutas: el rango, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación.

El conocimiento de la forma de la distribución y del respectivo promedio de una colección de valores de una variable, puede servir para tener una idea bastante clara de la conformación, pero no de de la homogeneidad de cada una de los valores con respecto a la medida de tendencia central aplicada.

LA DISPERSIÓN.

La dispersión es importante porque:

Proporciona información adicional que permite juzgar la confiabilidad de la medida de tendencia central. Si los datos se encuentran ampliamente dispersos, la posición central es menos representativa de los datos.
Ya que existen problemas característicos para datos ampliamente dispersos, debemos ser capaces de distinguir que presentan esa dispersión antes de abordar esos problemas.
Quizá se desee comparar las dispersiones de diferentes muestras. Si no se desea tener una amplia dispersión de valores con respecto al centro de distribución o esto presenta riesgos inaceptables, necesitamos tener habilidad de reconocerlo y evitar escoger distribuciones que tengan las dispersiones más grandes.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIA: Media aritmética, es la que se obtiene sumando los datos y dividiéndolos por el número de ellos. Se aplica por ejemplo para resumir el número de pacientes promedio que se atiende en un turno. Otro ejemplo, es el número promedio de controles prenatales que tiene una gestante.

MEDIANA: Corresponde al percentil 50%. Es decir, la mediana divide a la población exactamente en dos. Por ejemplo el número mediana de hijos en el centro de salud “X” es dos hijos. Otro ejemplo es el número mediana de atenciones por paciente en un consultorio.

MODA: Valor o (valores) que aparece(n) con mayor frecuencia. Una distribución unimodal tiene una sola moda y una distribución bimodal tiene dos. Útil como medida resumen para las variables nominales. Por ejemplo, el color del uniforme quirúrgico en sala de operaciones es el verde; por lo tanto es la moda en colores del uniforme quirúrgico.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

DESVIACIÓN ESTÁNDAR: Llamada también desviación típica; es una medida que informa sobre la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.

LA VARIANZA: Es el valor de la desviación estándar al cuadrado; su utilidad radica en que su valor es requerido para todos los procedimientos estadístico.

ERROR TÍPICO: Llamado también error estándar de la media. Se refiere a una medida d variabilidad de la media; sirve para calcular cuan dispersa estaría la media de realizar un nuevo calculo.

BLOQUE X

PROBABILIDAD CLÁSICA

Para predecir la probabilidad de ocurrencia de un fenómeno, se requiere apoyarse en muestreos los más neutrales posibles que brinden respuestas reales, es por ello que los elementos en estudio deberán de ser seleccionados por algún método de muestreo aleatorio.

Si bien no podemos saber cuál va a ser el resultado final de un evento aleatorio, si podemos determinar cuáles son los resultados posibles para éste. Al conjunto de todos estos resultados posibles se les conoce como espacio muestral.

PROBABILIDAD CLÁSICA DE OCURRENCIA DE UN EVENTO A

P(A)= Resultados de ocurrencia A/Total de resultados=n(A)/n

PROBABILIDAD CLÁSICA DE OCURRENCIA DE UNO U OTRO SUCESO

SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:

P(A o B) = P(A)+P(B)

SUCESOS NO EXCLUYENTES:

P(A o B) = P(A)+P(B)-P(AnB)

Donde:

P= La probabilidad de ocurrencia

P(A)= Probabilidad de ocurrencia del evento A

P(B)= Probabilidad de ocurrencias del evento B

P(AnB)= Probabilidad de ocurrencias de resultados comunes a A y B.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

En muchas ocasiones, la probabilidad de que ocurra un evento depende de lo que ha ocurrido en otro evento. En este caso se tiene lo que se llama probabilidad condicional.

La probabilidad condicional A, dado que ha ocurrido el evento B, se escribe P(A/B). Es decir, la probabilidad de que ocurra un evento A cuando se conoce a cierta información relacionada con la ocurrencia de otro evento B.

P(A/B) probabilidad de que ocurra A dado que B ha ocurrido

P(B/A) probabilidad de que ocurra B dado que A ha ocurrido.

Si, P(B)>0, entonces la probabilidad condicional de A dado B es igual a: P(A/B)= P(AnB)/P(B)

domingo, 7 de abril de 2013

Bloque I